ASAL SAYILAR SONSUZ MUDUR?
Bir öğrencinin “Peki öğretmenim en büyük asal sayı kaçtır?” sorusuna karşılık verilebilecek en iyi cevap tabii ki asal sayıların sonsuzluğunu göstermektir.
Matematik tarihinde bu soruya ilk kez Öklit’ten cevap gelir. Öklit en büyük asal sayı diye bir sayının olmadığını, asal sayılar kümesinin sonsuz olduğunu ispatlar. Burada Öklit’in yaptığı geometrik ispatı değil öğrencilerin rahatlıkla anlayabileceği modern ispatlardan bir tanesini paylaşıyorum.
İlk önce en az bir asal sayı içeren sonlu bir asal sayı kümemiz olduğunu düşünelim. Bu listedeki tüm asalları çarpalım (Çünkü 1'den büyük her tam sayı aslında ya asal bir sayıdır ya da asal sayıların çarpımlarından oluşur.) ve çıkan sayıya 1 ekleyelim. Nitekim bu sayı en büyük asal sayı olursa çift olmaması gerekir. +1 bu yüzden. Bu bulduğumuz sayı listemizdeki asalların hepsinden büyük olduğu için kendisi bu listede olamaz. Kısaca liste dışında bir asal sayı olmalı! Bu durumda sonlu kabulümüzle çelişki elde ettik.
Öte yandan eğer bu sayı asal değilse elde ettiğimiz bu sayı listemizdeki asalların her birine bölündüğünde daima 1 kalanını verecektir ki bu mümkün değil. Çünkü her sayı en az bir asala kesinlikle kalansız bölünmelidir.
Demek ki bu sayının ya kendisi liste dışı bir asaldır ya da listemizde olmayan bir başka asal sayıya bölünür. Dolayısıyla asal sayılar kümesi sonlu olamaz.
👉🏼 1-100 asal sayılar posteri için tıklayınız.