Hangi düzgün çokgenler yalnızca bir cetvel ve pergel ile çizilebilir?
Bu soru, antik çağdan beri matematikçilerin merak ettiği en temel problemlerden biriydi. Euclid, Elementler adlı eserinde bazı çokgenlerin nasıl çizileceğini göstermişti. Ancak tüm cevaplar henüz bilinmiyordu.
Gauss’un Devrim Yaratan Keşfi
1796 yılında, henüz 19 yaşındayken Carl Friedrich Gauss, düzgün 17-genin (onyedigen) cetvel ve pergel ile çizilebileceğini kanıtladı. Bu, tam 2000 yıl sonra gelen ilk yeni cevaptı.
Gauss’un bulduğu genel sonuç şuydu:
Bir düzgün çokgen, ancak ve ancak kenar sayısı şu özel formdaysa inşa edilebilir:
🪄 Kenar sayısı = 2^k × (Fermat asallarının çarpımı)
Buradaki Fermat asalları yalnızca şu bilinen beş sayıdan seçilebilir:
3, 5, 17, 257, 65537
Dolayısıyla şu düzgün çokgenler pergel ve cetvelle inşa edilebilir:
3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 20, 24, 30, 34, 40, 60, 68, 85, 255, 510, 1020, 1530, …
Özetle:
Sadece 2’nin kuvvetleri ve Fermat asalları kullanılarak oluşan çokgenler çizilebilir.
Gauss, bu keşfinden öyle gurur duymuştu ki, mezar taşına bir düzgün onyedigen işlenmesini istemişti. Ne yazık ki bu isteği gerçekleşmedi. Ancak doğduğu şehir olan Almanya’nın Brunswick kentindeki anıtının arkasına 17 köşeli bir yıldız yerleştirildi.
Euclid ve Gauss’tan İlhamla Bir Etkinlik
Euclid ve Gauss’tan ilhamla, çember, açı, düzgün çokgen kavramlarını birlikte kullanabileceğiniz bir etkinlik fikri!
- Önce herhangi bir çember çizelim.
- Çember üzerine ilk noktayı (köşe) yerleştirelim.
- Bu nokta ile diğer nokta arasındaki açıyı hesaplayalım: 360° ÷ 5 = 72°.
- Çemberi 72°’lik aralıklarla işaretleyerek 5 nokta elde edelim.
- Bu noktaları doğru parçalarıyla (kirişlerle) birleştirelim.
Ve işte karşımızda düzgün bir beşgen!
17-Geni Çizmek…
Gauss’un kanıtı sayı teorisi ve trigonometrinin derinliklerine dayanır, bu yüzden oldukça soyuttur. Ancak 1893’te Richmond, bu teoriyi uygulanabilir bir geometrik inşa yöntemi haline getirdi. Bugün hâlâ bu yöntem, 17-genin nasıl çizilebileceğini gösteren klasik adımlar arasında yer alıyor.
Merak edenler için daha fazla bilgiye şu kaynaklardan ulaşabilirsiniz:
Makale Link:
https://ijpam.eu/contents/2013-82-5/3/3.pdf
Geogebra Link:
https://www.geogebra.org/m/rSSA8HBd