Matematikte bazı kuralları öyle ezberleriz ki, sanki gökten inmiş gibidirler:
👉 “Payda eşitlemeden toplayamazsın!”
👉 “Payla payı, paydayla paydayı çarp!”
👉 “İkinci kesri ters çevirip çarp, öyle bul!”
Peki ama neden?
Bugün bu üç kuralın arkasındaki mantığı görsel düşünebilme yoluyla anlayacağız.
Çünkü bir kuralın nedenini bildiğinde artık onu ezberlemen gerekmez.
1. Kesirleri Toplarken Neden Payda Eşitlenir?
Bir kesrin paydası, bir bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü gösterir. Farklı paydalar, farklı büyüklükte parçalar demektir.
Toplama ya da çıkarma işlemi yaparken ölçü birimlerini,
buradaki gibi 2m + 80cm = 200cm + 80cm=280cm eşit hale getiriyoruz.
Peki kesirlerde eşit ölçüyü nasıl elde ederiz? Paydaları eşit olduğunda! Eşit payda, eşit birim kesir ölçüsü demektir.
Bu durumda 1/2 ile 1/3’ü de doğrudan toplayamayız. Çünkü “yarım” ve “üçte bir” aynı türden dilimler değillerdir.
Elinde aynı büyüklükte iki pasta var. Bir pastayı ikiye böldüğünü (yalnız dikkat! eşit iki parça olmalı yoksa kesir tanımına uymaz.) düşün. Sonra diğer pastayı üçe (yine eşit büyüklükte üç parça) böl. Bu durumda elinde biri yarım, diğeri üçte bir parça olacak. Bu iki parçayı toplayabilmek için önce aynı büyüklükte dilimlere ayırmalısın.
Peki nasıl?
Kesirlerde en önemli nokta burası! Böldüğün parça sayılarını yani paydaları ortak kat ile aynı noktaya çekebilirsin. 2 ve 3’ün ortak katı 6’dır.
Yani her iki pastayı da 6 eşit dilime bölebilirsin. Bu durumda işte karşında denk kesirler. Yani değer olarak aynı ama görüntü olarak farklı olanlar.
- 1/2=3/6
- 1/3=2/6
Bu da sayısal olarak, 3/6+2/6=5/6 yapar.
🌟Alan yardımıyla da somutlaştırmak diğer iyi bir seçenektir.
4x5 birim karelik bir alanın değeri 20 birim karedir.
Dolayısıyla 4 eş birimden 3 tanesini almak 3/4 kesri ile ifade edilebilir. 5 birimden 1 tanesini almakta 1/5 kesri ile.
Burada dikkatini çeken bir yer olmalı! Paydalar yine eşitlendi, çünkü payda eşit parçaların büyüklüğünü temsil ediyordu.
Kısaca:
Paydaları eşitlemek = Parçaları aynı büyüklüğe getirmek.
Yani toplama işlemini adil hale getirmektir. Aynı türden olmak önemli ;)
2. Kesirleri Çarparken Neden Pay ile Pay, Payda ile Payda Çarpılır?
Klasik bir çarpma işleminde 2x3 yazdığımızda 2 kere 3 ya da 2 tane 3 diye okuruz. Bir kesirle çarpmakta yine o kadarını almak demektir.
Yani 1/2×1/3 demek “bir şeyin üçte birinin yarısı ne yapar?” anlamına gelir.
Bir kareyi düşün.
Önce onu 3 eşit dikey parçaya böl ve 1 parçasını boya → bu 1/3 olur.
Sonra o renkli kısmı yatay olarak ikiye böl ve 1 parçasını boya → bu 1/2’sini almak olur.
Boyanan alan, bütünün 1/6’sıdır.
Peki çarpma işlemine bir de kesir çubukları ile bakalım.
1/2x5/6 işlemi 5/6'nın 1/2 kadarını bulmamızı istiyor.
Kesir çubukları ile işlemin sonucunun 5/12 olduğunu gösterdik.
Peki matematiksel olarak bu yaptığımız sorular nasıl bulunur?
Evet bravo! Hem paylar hem paydaları çarparak.
Düşünmeye Değer Bir Soru:
Çarpma işlemi ifadenin değerini her zaman büyütür mü?
3. Kesirleri Bölerken Neden İkinci Kesir Ters Çevrilip Çarpılır?
Bölme, aslında “bir sayının içinde diğerinden kaç tane var?” sorusudur.
Örneğin 6÷2=3 çünkü 6’nın içinde 2’lik parçalardan 3 tane vardır.
Peki,
1/2÷1/4 ne demek?
Görsel düşünelim:
“Yarımın içinde kaç tane çeyrek var?” Cevap: 2 tane.
Farklı bir örnek daha düşünelim.
2/3÷1/4 =?
İki eşit dikdörtgen düşün. (Neden böyle olması gerektiğini birazdan anlayacaksın.)
Önce birini 3 eşit dikey parçaya böl ve 2 parçasını boya → bu 2/3 olur.
Sonra diğerini 4 eşit parçaya böl ve 1 parçasını boya → bu 1/4 olur.
Burada sorulan 2/3 ün içinde kaç tane 1/4 var?
İşte eşit parçalar burada işimize yarayacak.
Görselde gördüğün gibi 2tam2/3 cevabını buluruz.
Peki matematiksel olarak bu yaptığımız sorular nasıl bulunur?
Evet bravo! İlk kesri aynen yazıp ikinci kesri ters çevirip çarparak!
Bölme işlemi ifadenin değerini her zaman küçültür mü?
🪄Gördüğün gibi matematikteki kurallar sihirli değildir.
Her biri, mantığın kısa yoludur.
Eğer “neden”ini kavrarsan, artık formüller değil, anlamlar senin rehberin olur.
✨ Gözde, | Matematik eğitimi üzerine notlarım