“Sizce sonsuzluk artı sonsuzluk ne yapar?” Cevabı hepimiz biliyoruz, sonsuzluk.
Peki bir çocuk size “Ee ama ben bunu sadece 0+0 için geçerli sanıyordum” derse, cevabınız ne olur?
“Sonsuzluk bir sayı değildir, çocuğum. Daha çok bir fikirdir, asla bitmeyen şeyleri ifade eden bir şeydir.” diyebilirsiniz.
İşte bu, Aristoteles’in tanımladığı potansiyel sonsuzluk dediği şeydir: Her zaman oradadır ama ona tam olarak ulaşamazsınız.
Doğal sayılar gibi… Her zaman bir sonraki sayı vardır ve bir sona varamazsınız.
19.yüzyılda Alman matematikçi Georg Cantor, sonsuzlukların farklı büyüklüklerde olabileceğini eğer sonsuz sayıda elemandan oluşan bir kümenin elemanlarını doğal sayılar kümesinin elemanlarıyla birebir eşleyebiliyorsak bu kümenin elemanlarını sayılabildiğini gösterdi. İşte sayılabilir sonsuzluk kavramı böyle doğdu. Ayrıca reel sayılar kümesinin sayılamaz sonsuz olduğunu gösterdi.
Yani irrasyonel sayıların sayısı, rasyonel sayıların sayısından kıyaslanamayacak derecede çoktu! Burada Cantor’ın ispatı tekrar devreye giriyor, her sonsuz eşit değildir! Bazıları daha da sonsuzdur!
Bir düşünce deneyi olarak görebileceğimiz Hilbert’in Oteli hikâyesi, Alman matematikçi David Hilbert tarafından kurgulanmıştır. Hilbert bu hikâyeyi, Cantor tarafından keşfedilen ve matematik dünyasını derinden sarsmış olan sonsuz kümeler kuramına giriş yapabilmek için (belli ki çocukların kafasını çok yakmadan anlatmak istemiş 🙂) derslerinde anlatırmış.
Otelde tüm odalar dolu ama yeni bir misafir gelmiş olsun. Normal bir otelde bu imkansızdır. Ama Hilbert’in Oteli’nde tüm misafirler bir oda ileri kaydırılır ve yeni misafir için boş bir oda açılır. Peki sonsuz sayıda yeni misafir gelse? Aynı yöntemle hepsi için hala yer açılabilir. Tabii bir şartla!
Buradaki önemli nokta: Hilbert’in Oteli sadece sayılabilir sonsuzluklar için çalışır. Bu, her sonsuzun eşit olmadığını ve bazı sonsuzlukların çok daha büyük olduğunu göstermek için Hilbert tarafından kurgulanmış güzel bir hikaye ;)
Ivar Ekeland’in Sayılar Diyarındaki Kedi kitabı, Hilbert’in sonsuzluk türlerini öğrencilerine anlatırken kurguladığı hikaye gibi, sonsuzluk kavramını güzel bir hikayeye dönüştürüyor. 7.sınıf ve sonrası öğrencileriniz için sayı kümelerini anlatırken sonsuzluk gibi soyut bir kavramı bu kitap ile desteklemek iyi bir yol olabilir.
✨ Gözde, | Matematik eğitimi üzerine notlarım