Matematikte bazı kavramlar vardır ki, hem sade hem de evrenin derinliklerine kadar uzanır. “Rasyonel sayılar” da bunlardan biridir. İngilizcesi “rational numbers” olan bu kavram, kökünde “ratio” yani oran kelimesini taşır. Aslında bu bile bize çok şey söyler:

Rasyonel olmak, oranlı ve düzenli olmaktır.

Bir Sayının Rasyonel Olması Ne Demek?

Kısaca söylemek gerekirse:

a ve b tam sayılarının ortak bölen'inin olmadığı a/b ifadesidir. (b ≠ 0)

Yani sayının bir bölüm olarak ifade edilebilmesi yeterlidir. Almanca “Quotient=Bölme” kelimesinden gelen “Q” harfi de, rasyonel sayıların sembolü olarak bu nedenle seçilmiştir.

Ama dikkat!

Bir sayının rasyonel olması için illa kesir halinde verilmesine gerek yok — önemli olan onun kesir biçiminde yazılabilmesi. Bakın "yazılabilmesi" dedim yani illa ki karşımıza a/b şeklinde çıkmak zorunda değil.

Şimdi matematik dünyasındaki rasyonel sayılara birlikte bakalım.

Örneğin:

  • 7 sayısı → 7/1

  • 4 sayısı → -4/1

  • 0 sayısı → 0/3

    Bu nedenle tam sayılar rasyoneldir diyebiliyoruz.

Virgüllerle Aramız Nasıl?

Ondalıklı sayılar da çoğu zaman (neden çoğu zaman olduğunu birazdan göreceğiz) rasyoneldir çünkü onları da kesir biçiminde gösterebiliriz:

  • 2,6 = 26/10
  • 0,9 = 9/10
  • -0,45 = -45/100

Kısacası, virgüllü bir sayı gördüğünüzde “rasyonel mi acaba?” diye sormadan önce onu bir kesir olarak düşünün. Sonlu ya da düzenli biçimde tekrar eden ondalıklar rasyoneldir; yalnızca düzensiz, sonsuza giden sayılar bu kuralın dışındadır.” Şimdi onlara bakalım.👇🏻

Devirli Ondalıklar ve Düzenin Hikâyesi

Devirli ondalıklar matematiğin düzenli kalp atışları gibidir.

Mesela:

  • 0,333... = 1/3
  • 0,797979... = 79/99

Bu tür sayılar düzenli biçimde tekrar ettiği için rasyoneldir.

Ancak bazı ondalıklar vardır ki, asla tam olarak tekrarlamaz; π (pi) gibi.

3,141592653... sonsuza kadar gider ama hiçbir zaman bir kalıba oturmaz.

Bu yüzden π irrasyoneldir — yani “düzensizdir”.

Bunu İngilizcedeki ‘ir’ olumsuzluk ön ekinden hatırlayabilirsiniz.

  • Rational numbers → düzenli sayılar
  • Irrational numbers → düzensiz sayılar

Kesir biçiminde verilmiş bir sayı zaten tanımı gereği rasyoneldir:

  • 1/4, 2/3, -3/5, 7/4…

    Dolayısıyla hepsi rasyoneldir.

Burada dikkat edilmesi gereken şeylerden biri de işaretin konumu🌟.

  • -2/3

  • 2/-3

  • -(2/3)

    Bu üç gösterim de aynı anlama gelir: -2/3

    📌 Yani işaretin nerede yazıldığı sonucu değiştirmez.

Pisagor ve Onun Mistik Dünyası

Rasyonel sayılar sadece bir matematik konusu değil, aynı zamanda felsefi bir hikâyedir.

Pisagor ve öğrencileri, evrendeki her şeyin rasyonel sayılarla açıklanabileceğine inanıyorlardı. Onlara göre evrenin özü düzendi, ve bu düzenin dili de rasyonel sayılardı.

Ancak rasyonel sayı sevgisinin sonunun nasıl bittiğini biliyoruz. İrrasyonel sayılar ile ilgili o hikayeyi okumak isterseniz tıklayınız.

Düzenin ve Düzensizliğin Dengesi

Rasyonel sayılar, bize düzenin dilini anlatır.

Kesirlerin, oranların, payların ve paydaların dünyasını…

Ama irrasyonellerin varlığı da bize şunu hatırlatır: Her şey ölçülebilir değildir. Evrenin içinde bir parça gizem, bir parça düzensizlik her zaman vardır.

Bildiğiniz gibi matematik sadece işlem değil, bir düşünme biçimidir ve rasyonel sayılar da bu düşünme biçiminin yalnızca düzenli yönüdür.

✨ Gözde, | Matematik eğitimi üzerine notlarım